Physique - Relativité restreinte


La théorie de la relativité restreinte n'est pas évidente à comprendre. Elle rend les raisonnements difficiles et défie notre intuition naturelle.
En effet, elle révolutionne notre compréhension de l'univers car, selon cette théorie, les résultats des mesures de longueur, de masse et d'énergie des objets en mouvement ainsi que les résultats des mesures de durées des évènements dépendent de la vitesse relative de ces objets et de ces évènements par rapport à l'observateur qui effectue ces mesures.
Ces effets son négligeables et ne sont donc pas visibles ni mesurables avec les vitesses rencontrées dans notre vie courante. Il sont cependant réels et deviennent visibles et mesurables avec des objets qui se déplacent à des vitesses relatives nont négligeables par rapport à la vitesse c de la lumière (environ 300.000 kms/s).

La page suivante s'efforce de résumer cette théorie de façon concise et compréhensible et propose une méthode simple pour pouvoir raisonner sans erreur.

1) Présentation générale de la théorie de la relativité restreinte;
2) Méthode simple pour raisonner sans erreur;
3) Exemple;
4) Origine de la théorie et démonstrations;
5) Le (faux) paradoxe des jumeaux;
6) Variables et formules utiles;
7) Remarques.

albert einstein ca 1905

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1) Présentation générale

La relativité restreinte est une théorie physique, formulée en 1905 par Albert Einstein (1879-1955). Elle s'applique dans l'univers où il existe des évènements et des objets. Les évènements ont des durées et les objets ont des longueurs.
Les idées clés de cette théorie sont les suivantes :
1) Principe d'invariance : Les lois de la physique sont les mêmes pour tous les observateurs se déplaçant à des vitesses constantes les uns par rapport aux autres, quel que soit leur état de mouvement.
2) Dilatation du temps : Un observateur en mouvement, par rapport au lieu où se produit un évènement, mesure pour cet évènement une durée plus longue qu'un observateur qui se trouve au même endroit que cet évènement.
3) Contraction des longueurs : Un observateur en mouvement, par rapport au lieu où se trouve un objet, mesure pour cet objet une longueur plus courte qu'un observateur qui se trouve au même endroit que cet objet.
4) Équivalence masse-énergie : La célèbre formule E = mc2 exprime une équivalence entre l'énergie (E) et la masse (m). Un objet de masse m possèque une énergie intrinsèque E = mc2 (c étant le vitesse de la lumière).

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2) Méthode pour raisonner de façon juste

Évènements, objets et référentiels

Dans l'univers, il existe :
• des évènements (notés E, E1, E2,...);
• des objets (notés K, K1, K2,...);
• des répères (ou référentiels) galiléens, c'est à dire des repères en mouvemement rectiligne uniforme avec une vitesse constante, les uns par rapport aux autres (notés R, R',...).

Évènements, objets et référentiels

Pour définir la durée d'un évènement E donné, mesurée dans un repère galiléen R, on utilisera la notation:
T(E,R)=T.
Pour définir la durée d'un évènement E donné, mesurée dans un repère galiléen R', on utilisera la notation:
T(E,R')=T'.

Pour définir la longueur d'un objet donné K, mesurée dans un repère galiléen R, dans le sens du déplacement relatif de R, on utilisera la notation:
L(K,R) = L
Pour définir la longueur d'un objet donné K, mesurée dans un repère galiléen R', dans le sens du déplacement relatif de R', on utilisera la notation:
L(K,R') = L'

Rappel :
1) La durée d'un évènement la plus courte est celle qui est mesurée dans le référentiel (R, R',...) dans lequel cet évènement se produit en intégralité en un endroit fixe;
2) La longueur d'un objet la plus longue est celle qui est mesurée dans le référentiel (R, R',...) dans lequel cet objet est immobile.

Dilatation du temps

Pour pouvoir mesurer correctement la durée d'un évenement, il faut :
1) commencer par définir de façon précise l'évènement E auquel on s'intéresse;
2) identifier le référentiel (R, R',...) dans lequel cet évènement se produit en intégralité et en un seul et même endroit.
C'est dans ce référentiel que la durée mesurée pour cet évènement sera la plus courte.
Dans les autres référentiels, se déplaçant avec une vitesse v par rapport à ce référentiel, la durée de cet évènement sera mesurée comme étant plus longue.
Ainsi :
• si l'évènement E auquel on s'intéresse se produit en intégralité et en un seul et même endroit dans le repère R (figures 1a et 1b) alors dans un référentiel R', se déplaçant avec une vitesse relative v par rapport à R, la durée de cet évènement sera mesurée comme étant égale à :
T'= γ.T > T donc plus longue (dilatation du temps)
• si l'évènement E auquel on s'intéresse se produit en intégralité et en un seul et même endroit dans le repère R' (figures 2a et 2b) alors dans un référentiel R, se déplaçant avec une vitesse relative v par rapport à R', la durée de cet évènement sera mesurée comme étant égale à :
T= γ.T' > T' donc plus longue (dilatation du temps)

Dilatation du temps, en relativité restreinte

Contraction de la longueur

Pour pouvoir mesurer correctement la longueur d'un objet, il faut:
1) commencer par définir de façon précise l'objet K auquel on s'intéresse;
2) identifier le référentiel (R, R',...) dans lequel cet objet est immobile.
C'est dans ce référentiel que la longueur mesurée pour cet objet sera la plus grande.
Dans les autres référentiels, se déplacant avec une vitesse v par rapport à ce référentiel (dans le sens de la longueur de l'objet considéré), la longueur de cet objet sera mesurée comme étant plus courte.
Ainsi :
• si l'objet K auquel on s'intéresse est immobile dans le repère R (figures 3a et 3b) alors dans un référentiel R', se déplaçant avec une vitesse relative v par rapport à R, la longueur de cet objet sera mesurée comme étant égale à :
L'= α. L < L donc plus courte (contraction de la longueur)
• si l'objet K auquel on s'intéresse est immobile dans le repère R' (figures 4a et 4b) alors dans un référentiel R, se déplaçant avec une vitesse relative v par rapport à R', la longueur de cet objet sera mesurée comme étant égale à :
L= α. L' < L' donc plus courte (contraction de la longueur)

Contraction des longueurs, en relativité restreinte

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3) Exemple

Une fusée (référentiel R) se déplace d'un point A vers un point B de l'espace avec une vitesse v par rapport à un référentiel R'.

Contraction des longueurs et dilatation du temps : exemple d'une fusée

Durée du trajet

Pour mesurer la durée du trajet AB, on définit l'évènement : "le point de départ (A) se trouve devant le hublot de la fusée puis le point de destination (B) se trouve devant le hublot de la fusée".

  • Le référentiel où cet évènement se produit en un seul et même endroit, est celui de la fusée (référentiel R en bleu) (figure 5b). Donc l'observateur qui se trouve dans la fusée mesurera une durée T la plus courte pour cet évènement (c'est à dire pour le trajet).
  • Un observateur situé dans le référentiel R' (en vert) mesurera une durée T' plus longue pour ce trajet (figure 5a).
    T'= γ.T > T (dilatation du temps)

Longueur du trajet

Pour mesurer la longueur du trajet AB, on peut définir comme objet : "le trajet formé par le segment de droite AB".

  • Le référentiel dans lequel cet objet est immobile est le référentiel R' (en vert) (figure 5a).
  • Un observateur situé dans R' mesurera donc une longueur L' plus longue pour ce trajet.
  • L'observateur situé dans la fusée (référentiel R, en bleu) mesurera donc une longueur L plus courte pour le segment de droite AB (c'est à dire pour le trajet) (figure 5b).
    L= α.L' < L' (contraction de la longueur).

Vitesses relatives

Pour vérifier que la vitesse relative de la fusée (référentiel R en bleu), par rapport au segment AB (référentiel R' en vert), est bien égale à la vitesse relative du segment AB, (référentiel R' en vert) par rapport à la fusée (référentiel R en bleu), on prend en compte les constatations précédentes :

  • Un observateur se trouvant sur la fusée (dans le référentiel R en bleu) mesure que le trajet a une longueur L et qu'il a été parcouru en un temps T.
    Pour lui, le segment AB s'est donc déplacé avec une vitesse v=L/T par rapport à la fusée.
  • Un observateur se trouvant au point A (dans le référentiel R' en vert) mesure que la fusée a parcouru une distance L' pendant un temps T'.
    Pour lui, la fusée s'est donc déplacée avec une vitesse v'=L'/T' par rapport au point A;

On a donc :
(1) v = L/T (vitesse de la fusée par rapport à R')
(2) v'= L'/T' (vitesse de la fusée par rapport à R)
(3) T'= γ.T (dilatation du temps)
(4) L= α. L' (contraction de la longueur)
On en déduit :
v/v'= LT'/L'T = L/L'.T'/T = α.γ =1
v' est bien égal à v

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4) Origine de la théorie et démonstrations;

Origine de la théorie de la relativité restreinte

La théorie de la relativité restreinte a été développée en réponse à plusieurs phénomènes observés qui semblaient en contradiction avec la physique classique à la fin du XIXe et au début du XXe siècle. Les expériences menées à cette époque ont montré que la vitesse de la lumière était une constante égale c dans tous les référentiels en mouvement les uns par rapport aux autres, quel que soit le reférentiel R dans lequel se trouve la source d'émission de cette lumière et quel que soit le référentiel en mouvement (à la vitesse relative v par rapport à R) dans lequel on effectue une mesure la vitesse de la lumière.

Soit T0=0 l'instant d'émission d'une lumière, par une source de lumière S, dans un référentiel R (figure 6). Soit L la distance parcourue par la lumière, dans le référentiel R, pendant la durée T. Dans le référentiel R les expérimentateurs ont mesuré une vitesse de la lumière égale à c=L/T. Ce qui est intuitivement naturel.
Dans le référentiel R' qui se rapproche progressivement de la source de lumière S, en ligne droite avec une vitesse relative v, les observateurs ont considéré que pendant la durée T, la lumière avait parcouru une distance non pas égale à L mais égale à L-x (avec x=v.T qui est la distance relative parcourue par R' par rapport à R pendant la durée T) étant donné que pendant le temps T, R' s'est rapproché de R de la distance x.
Les expérimentateurs qui se trouvaient dans le référentiel R' s'attendaient donc intuitivement à ce que la vitesse de la lumière mesurée dans le référentiel R' ne soit pas égale à c mais soit égale à c'=(L-x)/T=L/T-x/T=c (vitesse de la lumière mesurée dans R)-v (vitesse de R' par rapport à R). Cependant, en contradiction avec cette attente, toutes les mesures effectuées par les expérimentateurs qui se trouvaient dans le référentiel R' ont donné comme résultat non pas c'=c-v mais c'=c.

Les deux observateurs mesurent la même vitesse de la lumière c alors que la source S de cette lumière se trouve dans le repère R qui se rapproche du repère R' avec une vitesse relative v.
Principe d'invariance de la vitesse de la lumière

Le constat de toutes les expériences menées à l'époque était toujours le suivant qui est devenu le "Principe d'invariance de la vitesse de la lumière".

Principe d'invariance de la vitesse de la lumière
La vitesse de la lumière est une constante c, restant inchangée quel que soit l'emplacement de sa source S et quel que soit le référentiel R (en mouvement rectiligne uniforme de vitesse v quelconque) à partir duquel on la mesure (figure 6).

Prenant en compte ce constat, les physiciens ont décidé d'affiner l'équation de la loi de composition des vitesses qui était utilisée en mécanique classique (v=v1+v2, en valeur algébrique) et de la remplacer par la loi v=(v1+v2)/ (1+v1.v2/c2), en valeur algébrique. Pour des vitesses v1 et v2 faibles par rapport à la vitesse c de la lumière, le terme v1.v2/c2 devient négligeable par rapport à 1 et on retrouve la loi de composition des vitesses utilisée en mécanique classique (v=v1+v2).
Ainsi, appliquée à l'exemple précédent, la loi de composition des vitesses affinée donne c'=(c-v)/(1-v.c/c2)=(c-v)/(1-v/c)=c ce qui fait disparaître la contradiction apparente.

Démonstration de la formule de dilatation du temps T'= γ.T

La formule de dilatation du temps découle directement du principe d'invariance de la vitesse de la lumière. Pour démontrer cette formule, on peut utiliser l'exemple suivant:
Un segment de droite vertical AB de longueur H, constituant un référentiel R, se déplace dans un sens horizontal avec une vitesse v par rapport à un référentiel R'. On considère l'évènement E: "un rayon lumineux part du point B puis arrive au point A" qui se produit dans le référentiel R.

  • Pour un observateur situé dans R, cet évènement a une durée TE=T, mesurée dans R, telle que H=c.T
  • Pour un observateur situé dans R', lorsque ce rayon lumineux atteint le point B de R, après une durée T' mesurée dans dans R', le point B a parcouru une distance L'=v.T' dans R', étant donné que R se déplace avec une vitesse relative v par rapport à R'.

Démonstration de la formule de dilatation du temps

On a donc:
(1) : H=c.T (distance parcourue par la lumière dans R, mesurée dans R);
(2) : L'=vT'(distance parcourue par R, mesurée dans R', quand la lumière atteint le point B de R;
(3) : H2+L'2=c2.T'2 (invariance de la vitesse de la lumière et théorème de pythagore).

d'où
Calcul de la dilatation du temps

Démonstration de la formule de contraction des longueurs

La formule de contraction des longueurs découle du principe d'invariance de la vitesse de la lumière et de la formule de dilatation du temps.
Pour démontrer cette formule, on peut utiliser l'exemple du paragraphe 3) ci-dessus (figures 5a et 5b) dans lequel une fusée (référentiel R) se déplace d'un point A vers un point B de l'espace avec une vitesse v par rapport à un référentiel R'.
L'observateur situé dans la fusée (R), mesure que pendant la durée T la fusée a parcouru une distance L=v.T (1)
L'observateur situé sur sur terre (R') mesure que pendant la durée T' la fusée a parcouru une distance L'=v.T' (2)
(1) et (2) => L'/L= T'/T
mais on a vu, dans cet exemple, que T'/T= γ donc L'/L=γ c'est à dire L'= γ.L d'où L= α.L'

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5) Le (faux) paradoxe des jumeaux

A l'époque où Einstein à publié la théorie de la relativité, des détracteurs ont contesté cette théorie qui conduisait, selon eux, à un paradoxe (c'est à dire à une association de deux faits contradictoires) appelé "paradoxe des jumeaux".

• Présentation du (faux) paradoxe

Pour montrer ce paradoxe (qui en réalité n'existe pas) les détracteurs ont pris l'exemple suivant:
Soient deux jumeaux (Jean et Marc) ayant exactement le même age (30 ans) et se trouvant tous les deux en un même point A de l'espace (référentiel R). Marc se rend alors, en ligne droite en fusée (référentiel R') en un point B éloigné de A, avec une vitesse v par rapport à A, puis revient au point A avec cette même vitesse. Etant donné que Marc s'est déplacé à la vitesse relative v par rapport à Jean, il est plus jeune que Jean une fois revenu en A (dilatation du temps).
Cependant les détracteurs ont souligné qu'on pouvait également considérer, de façon symétrique, que c'est Jean qui s'était éloigné de Marc avec une vitesse v pour rejoindre ensuite Marc avec la même vitesse. Auquel cas c'est Jean qui s'est déplacé à la vitesse relative v par rapport à Marc, et en conséquence c'est lui qui est plus jeune que Marc une fois qu'il a rejoint Marc (dilatation du temps). D'où un paradoxe puisque "Jean est plus jeune que Marc" et "Marc est plus jeune que jean".
En réalité, il n'y a pas de paradoxe. En effet, la symétrie n'est pas applicable parce que les trajets aller et retour ne sont pas équivalents dans les référentiels des deux jumeaux. En effet, la situation relative entre Marc et Jean n'est pas symétrique car les trajets AB et BA sont immobiles dans le repère de Jean (segment AB, repère R) et non pas dans le repère de Marc (la fusée, repère R'). Cela rompt la symétrie du problème et explique pourquoi les effets sur les jumeaux (dilatation du temps) ne sont pas équivalents.

• Résolution du (faux) paradoxe

Pour raisonner de façon juste, il faut traiter le problème de la façon suivante.

Soit deux jumeaux Jean et Marc ayant exactement le même age (30 ans) se trouvant tous les deux en un même point A de l'espace (référentiel R).
Marc se rend alors, en ligne droite en fusée (référentiel R') en un point B éloigné de A, avec une vitesse v par rapport au repère A.
Pour Jean, Marc a parcouru une distance L pendant une durée T, avec une vitesse v=L/T
Marc considère qu'il a parcouru une distance L' pendant une durée T', avec une vitesse v=L'/T'
Etant donné que le trajet AB est immobile dans le repère de Jean (segment AB, repère R) et non pas dans celui de Marc (la fusée, repère R'), c'est la distance L' mesurée par Marc qui est inférieure à la distance L mesurée par Jean et non pas l'inverse (contraction des longueurs).

Donc L' est inférieur à L et de ce fait T' est inférieur à T puisque L'=vT' et L=vT.
Donc à la fin du trajet AB Marc a 30ans+T' et Jean a 30ans+T et Marc devient moins agé que Jean de la durée T-T'.
Quand Marc revient au point A, en faisant le même raisonnement pour le trajet retour BA, on trouve qu'une fois revenu au point A, Marc a 30ans+2T'' et Jean a 30ans+2T donc Marc devient moins agé que Jean de la durée 2(T-T').

La raison pour laquelle Marc devient moins agé que jean n'est pas due simplement au fait que marc a subi une accélération et que Jean n'en a pas subi (l'accélération provoque certes une assymétrie mais celle-ci ne permet pas à elle seule d'expliquer clairement le décalage de temps entre les jumeaux). La principale raison est due au fait que la situation n'est pas symétrique car les trajets AB, BA et ABA sont immobiles dans le repère de Jean (segment AB, repère R) et non pas dans celui de Marc (la fusée, repère R'). Si on précise bien cette assymétrie, il n'existe pas de "Paradoxe des jumeaux".

Faux paradoxe des jumeaux

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6) Variables et formules utiles

Soient :

  • un objet au repos dans un référentiel R';
  • m0 et E0 la masse et l'énergie totale de cet objet mesurées dans ce référentiel R';
  • R un référentiel se déplaçant avec une vitesse relative v par rapport au référentiel R' de cet objet.

La théorie de la relativité d'Einstein indique qu'un observateur situé dans R mesure pour cet objet :

masse et énergie d'un objet en relativité restreinte

En effet, la mesure de la masse m ou de l'énergie totale E d'un objet par un observateur dépend de la vitesse relative de cet observateur par rapport à l'objet (ou de la vitesse relative de l'objet par rapport à l'observateur, ce qui revient au même).

Masse et énergie d'un objet mesurées dans R et dans R'

À partir de ces deux formules, on peut déduire l'ensemble des formules utiles permettant d'effectuer des calculs utilisant les variables suivantes :

  • E0 : énergie d'un objet au repos (mesurée dans R'). Cette énergie représente la somme de toutes les énergies internes (thermique, nucléaire, chimique,(électrique, gravitationnelle, élastique...) de l'objet;
  • m0 : masse d'un objet au repos (mesurée dans R');
  • E: énergie totale d'un objet en mouvement à la vitesse v par rapport à R (mesurée dans R);
  • m : masse d'un objet en mouvement à la vitesse v par rapport à R (mesurée dans R);
  • Ec : énergie cinétique Ec=E-E0 d'un objet en mouvement à la vitesse v par rapport à R (mesurée dans R);
  • p : quantité de mouvement p=mv d'un objet en mouvement (à la vitesse v par rapport à R (mesurée dans R).
formules utiles en relativité restreinte

Remarque :
Lorsque v est très inférieur à c, la formule (4) peut être simplifiée et permet de retrouver la formule Ec=1/2 mv2 utilisée en mécanique classique. énéergie cinétique en mécanique classique

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7) Remarques

Référentiels R et R'

Par R et R' on ne définit pas une notion "absolue" de référentiel "fixe" (qui serait noté R) et de référentiel "mobile" (qui serait noté R'). Cela serait inapproprié et source de confusion puisque tous les référentiels sont en déplacement de vitesse relative v les uns par rapport au autres.
La désignation des référentiels R et R' est faite de façon arbitraire mais une fois cette désignation effectuée, il faut alors déterminer dans lequel des référentiels R ou R' :

  • l'évènement considéré se produit en intégralité et en un seul et même endroit (lorsqu'on on veut trouver la durée minimale de cet évènement);
  • l'objet considéré se trouve immobile (lorsqu'on veut trouver la longueur maximale, la masse minimale ou l'énergie minimale de de cet objet ).

Contraction de la longueur

Le phénomène contraction de la longueur d'un objet n'a lieu de que dans le sens de la longueur de l'objet, c'est à dire dans le sens du déplacement du référentiel dans lequel cet objet est immobile. Dans le sens perpendiculaire à ce déplacement, il n'y a pas de contraction de la "hauteur" de l'objet.
En effet, en relativité restreinte, la contraction des longueurs affecte uniquement la dimension de l'objet dans le sens de son mouvement relatif par rapport à un observateur dans un autre référentiel. La dimension perpendiculaire au mouvement n'est pas affectée, ce qui signifie que la "hauteur" de l'objet reste inchangée.

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