 |
| |
Source : ct|01.06.13
|
 |
| Source books.google.fr |
Le dictionnaire donne la définition suivante du mot angle : « coin, encoignure » ou « figure formée par deux demi-droites ou deux demi-plans qui se coupent ». Cependant, dans les mots d’usage courant, il ne fait pas apparaître le terme angle solide utilisé en mathématiques et en physique.
Quelle est la définition précise de cette notion et à quoi correspond-elle exactement ?…
Un élément de surface dS d’une surface S est représenté, en un point M, par un vecteur dS=dS.n avec n vecteur unitaire perpendiculaire à dS au point M.
Pour le sens de n, on distingue deux cas :
 |
| Surfaces et sens du triède direct (sens du tire-bouchon) |
Définition
Un angle est une grandeur sans dimension qui définit la portion d’espace compris entre deux segments de droites qui se coupent en un point. Autrement dit, un angle est la portion d’espace délimitée par le centre d’un cercle et par un arc faisant partie de la circonférence de ce cercle.
Soit un cercle de centre 0 et de rayon R, et soient deux points A et B très proches l’un de l’autre sur ce cercle.
L’angle dθ formé par les segments de droite 0A et 0B est défini par
 |
| Angle élémentaire |
L’angle dθ est exprimé en radian (rad), nombre sans dimension.
dθ étant infiniment petit, dL est équivalent à un segment de droite infiniment petit.
Si les point A et B sont diamétralement opposé, l’arc AB est égal à 2πR/2 et dans ce cas θ = 2πR/2R=π (rad)
Généralisation
On prend un arc quelconque infiniment petit dL’ (assimilé à un segment de droite infiniment petit) incliné d’un angle β par rapport à dL), on a dL=dL’cos β=dL’ u.n
d’où
u= 0M/0M vecteur unitaire dirigé dans le sens 0M
n vecteur unitaire perpendiculaire à dL’ au point M
 |
| Arcs et angles élémentaires |
Définition
De façon comparable à un angle, qui est une grandeur sans dimension définissant la portion d’espace délimitée par le centre d’un cercle et une partie de la circonférence de ce cercle, un angle solide est une grandeur sans dimension qui définit la portion d’espace délimitée par le centre d’une sphère et une partie de la surface de cette sphère.
Soit une sphère de centre 0 et de rayon R, et un élément de surface dS sur cette sphère.
L’angle solide dΩ qui définit la portion d’espace délimitée par le centre de la sphère et l’élément de surface dS est défini par
L’angle dΩ est exprimé en steradian (sr), nombre sans dimension.
Si on considère la portion d’espace délimitée par un quart de sphère de rayon R, l’angle solide correspondant est Ω =4πR²/8R² = π/2 (sr)
 |
| Angles and angles solides |
Généralisation
Si on prend un élément de surface quelconque infiniment petit dS’ (assimilé à la surface d'un cercle infiniment petit) situé autour d’un point M et incliné d’un angle β par rapport à dS, on a dS = dS’ cos β = dS’ u.n
d’où
u = 0M/0M vecteur unitaire dirigé dans le sens 0M
n vecteur unitaire perpendiculaire à dS’ au point M
Donc l’élément d’angle solide qui définit la portion d’espace comprise entre un point 0 et une surface élémentaire dS =dS.n (située autour d’un point M et présentant une orientation quelconque) est (avec r=OM)
 |
En particulier, si l’élément de surface dS est perpendiculaire à 0M, on retrouve
 |
| Surfaces et angles solides élémentaires |
Quel est l’angle solide délimité par un disque et un point P situé l’axe de ce disque ?
Réponse
On découpe le disque en une succession de couronnes circulaires élémentaires, de largeur dr et de même axe 0P, imbriquées les unes à l'intérieur des autres. Les éléments de surface constituant chaque couronne élémentaire sont orientés en formant même angle φ avec l’axe du disque (cf schéma ci-dessous).
La surface d'une couronne élémentaire est
dS =2πrdr avec r=h tanφ =>dr=(h/cos²φ)dφ
d'où dS=2πh tanφ (h/cos²φ)dφ = 2πh²(tanφ/cos²φ)dφ
D'autre part, dΩ = dS cosφ/a²(φ) avec a(φ)=h/cosφ
d’où
dΩ= dS cosφ cos²φ/h²
dΩ = 2πh²(tanφ/cos²φ) cosφ cos²φ/h²dφ
dΩ = 2πsinφdφ
Pour couvrir tout le disque, on intègre une infinité de couronnes circulaires élémentaires en faisant varier φ entre 0 et θ/2. On en déduit Ω=2π (1-cos θ/2).
 |
| Angle solide délimité par un disque et par un point P situé sur son axe |
• Si
θ -> π, cos θ/2 -> 0 et Ω->2π
• Si
θ -> 0, cos θ/2 -> 1 et Ω->0
Quel est l’angle solide délimité par un rectangle de cotés a et b (capteur d’appareil photo ou de camescope numérique par exemple) et un point P situé à une distance h sur l’axe central de ce rectangle ?
Réponse
Les calculs sont plus longs que dans le cas d’un disque car, dans ce cas, il n'y a pas de symétrie cylindrique.
On suppose que, par exemple, le rectangle est centré en 0 et placé dans le plan xy.
On calcule l’angle solide d’un quart de ce rectangle, de coté p=a/2 et q=b/2 puis, par symétrie, on mulitplie le résultat par 4 pour obtenir l’angle solide relatif au rectangle complet.
 |
| Angle solide délimité par un rectangle et par un point P situé sur son axe |
d'où
On intégre d’abord par rapport à x pour obtenir une fonction i(y)
en effet,
On pose y =h tanα => dy=(h/cos²α)dα avec 1/cos²α = 1+tan²α
En effet, la fonction Arcsin présente la définition et les propriétés suivantes
d'où
On déduit l’angle solide total, délimité par le rectangle de cotés a=2p et b=2q, en multipliant le résultat précédent par 4.
 |
 |
© http://turrier.fr (2007) |