Source : ct|01.06.13

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Systèmes de coordonnées

"Tous les problèmes de géométrie peuvent se réduire facilement à de tels termes qu'il n'est besoin que de connaître la longueur de quelques lignes droites pour les construire."
René Descartes (1596-1650), mathématicien, physicien et philosophe français - Discours de la méthode (1637)

"Les coordonnées sont des nombres servant à déterminer la position d'un point dans l'espace par rapport à un système de référence".
Dictionnaire Larousse (1992)

Il existe de nombreux systèmes de coordonnées. Les systèmes suivants sont fréquemment utilisés en mathématiques et en physique :

• système de coordonnées cartésiennes (système adapté aux objets de forme cubique);
• système de coordonnées cylindriques (système adapté aux objets de forme cylindrique);
• système de coordonnées sphériques, (système adapté aux objets de forme sphérique).

1) Système de coordonnées cartésiennes

Avec le système de coordonnées cartésiennes, un point M qui se trouve dans un repère fixe (O,i,j,k) est déterminé par son abscisse x, son ordonnée y et sa cote z par rapport à un point origine O dans ce repère.

OM = x i + y j + z k

Un vecteur V=MN dont l'origine est en M est déterminé par ses composantes Vx Vy et Vz mesurées sur les axes i, j et k.
V(x, y, z)= Vx(x,y,z) i Vy(x,y,z) j + Vz(x,y,z) k

Avec 2 points infiniments rapprochés M(x,y,z) et M'(x+dx,y+dy, z+dz), MM'=dx.i+dy.j+dz.k et dV=dx.dy.dz

2) Système de coordonnées cylindriques

Avec le système de coordonnées cylindriques, un point M qui se trouve dans un repère fixe (O,i,j,k) est déterminé par sa distance r par rapport au point origine O, par sa cote z par rapport au plan (O,i,j) et par un angle θ dans le plan (O,i,j) (angle polaire).

En coordonnées cartésiennes, OM (x,y,z) = x.i + y.j + z.k avec x=r.cosθ et, y=r.sinθ (cf schéma ci-dessous).
D'où, en coordonnées cylindriques, OM (r,θ,z) = r.cosθ i + r.sinθ j + z k

L'orientation du vecteur k est fixe. L'orientation des vecteurs unitaires u et v n'est pas fixe, dans le repère fixe (O,i,j), mais varie en fonction de la position du point M.

Un vecteur V=MN dont l'origine est en M est déterminé par ses composantes Vr(r,θ,z) Vθ(r,θ,z) et Vz(r,θ,z) mesurées sur les axes mobiles u, v et sur l'axe fixe k.
V(x, y, z)= Vr(r,θ,z) u + Vθ(r,θ,z) v + Vz(r,θ,z) k

Avec 2 points infiniments rapprochés M(r,θ,z) et M'(r+dr,θ+dθ, z+dz), MM'=dr.u+rdθ.v+dz.k et dV=dr.rdθ.dz

2) Système de coordonnées sphériques

Avec le système de coordonnées sphériques, un point M qui se trouve dans un repère fixe (O,i,j,k) est déterminé par sa distance r (par rapport au point origine O) et par deux angles θ et φ (longitude et latitude).

En coordonnées cartésiennes, OM (x,y,z) = x i + y j + z k avec x=rsinθcosφ, y=rsinθsinφ et z=rcosθ (cf schéma ci-dessous).
D'où, en coordonnées sphériques, OM (r,θ,φ) = r sinθ cosφ i + r sinθ sinφ j + r cosθ k

L'orientation des vecteurs u,v et w n'est pas fixe, dans le repère fixe (O,i,j,k), mais varie en fonction de la position du point M.

Un vecteur V=MN dont l'origine est en M est déterminé par ses composantes Vr(r,θ,φ), Vθ(r,θ,φ) et Vφ(r,θ,φ) mesurées sur les axes mobiles u, v et w.
V(r,θ,φ)= Vr(r,θ,φ) u + Vθ(r,θ,φ)v + Vφ(r,θ,φ) w

Avec 2 points infiniments rapprochés M(r,θ,φ) et M'(r+dr,θ+dθ, φ+dφ), MM'=dr.u+rdθ.v+rsinθdφ.w et dV=r²sinθdr.dθ.dφ

Ce système de coordonnées permet de calculer rapidement la surface S et le volume V d'une sphère en fonction de la valeur R de son rayon.