Source : ct|01.06.13

< Mathématiques et physique

Divergence d'un champ de vecteurs

La notion de divergence est définie dans le dictionnaire comme "la situation de deux lignes qui s'éloignent en s'écartant". On parle aussi de divergence d'opinions lorsque deux personnes ne partagent pas le même point de vue.
En mathématiques et en physique, on rencontre fréquemment la notion de divergence d'un champ de vecteurs. On peut se demander quelle est la définition de cette notion et à quoi elle correspond exactement...

1) Définition

Soit un champ de vecteurs
a(x,y,z) = ax(x,y,z)i + ay(x,y,z)j + az(x,y,z)k

On appelle divergence de a le nombre scalaire

que l’on note également

avec i =(1,0,0), j=(0,1,0), k=(0,0,1), et l’opérateur nabla égal à

2) Interprétation

Pour illustrer ce que représente concrètement la divergence d’un champ de vecteurs a, on considère un volume élémentaire dv = dx dy dz de l’espace.

Soient nx et nx+dx les vecteurs unitaires normaux aux faces gauche et droite de ce volume et orientés vers l’extérieur.

Les flux du vecteur a à travers ces deux faces élémentaires sont respectivement égaux à a(x,y,z)dS.nx et a(x+dx,y,z)dS.nx+dx donc à ax(x,y,z)dS.i.nx et ax(x+dx,y,z)dS.i.nx+dx et donc à -ax(x,y,z).dydz et +ax(x+dx,y,z).dydz car, compte tenu de la direction des vecteurs unitaires normaux aux faces considérées, i.nx=-1 et i.nx+dx=+1.

La somme des flux de a sur ces deux faces élémentaires est donc dΦ = [ax(x+dx,y,z) - ax(x,y,z)]dydz d’où

En faisant le même raisonnement sur les faces dxdz et dxdy, on en déduit que la somme des flux de a sur l’ensemble des faces du volume élémentaire dV est

On en déduit dΦ= (div a)dv avec dv=dxdydz et

div a = dΦ/dv

Ce résultat montre que la divergence d’un champ de vecteurs en un point M de l’espace représente le flux (par unité de volume) de ce champ (à travers la surface délimitant une unité de volume en ce point).

• Une divergence positive en un point M(x,y,z) correspond à un flux majoritairement sortant autour de ce point (champ divergent - expansion de fluide)

• Une divergence négative en un point M(x,y,z) correspond à un flux majoritairement entrant autour de ce point (champ convergent - compression de fluide)
  

• Une divergence nulle en un point M(x,y,z) correspond à des flux entrant et sortant autour de ce point qui se compensent (champ uniforme - fluide incompressible) ou à un champ tourbillonnant.

Généralisation

De façon plus générale, on considère un espace quelconque de volume V composé d'une infinité de volumes élémentaires infiniments petits. Les flux internes traversant les surfaces de l’ensemble des unités de volume internes constitutives de cet espace, se compensent deux à deux (étant donné les sens opposés des normales respectives à ces surfaces communes) et il ne reste que les flux traversant la surface extérieure S du volume V.

De dΦ = div a . dv on déduit

d'où

Mikhaïl Vassilievitch Ostrogradsky (1801-1862) - Physicien et mathématicien ukrainien
Source commons wikimedia - image public domain

Le flux d’un champ de vecteurs a, à travers une surface fermée S délimitant un espace de volume V, est égal à l’intégrale de la divergence de ce champ sur cet espace.

4) Divergence, en coordonnées cylindriques

On peut calculer la divergence d'un champ de vecteurs exprimés en coordonnées cylindriques.

Soit un vecteur V(r,θ,z) = MN(r,θ,z) dont l’origine est située en un point M(r,θ,z), à l’intérieur d’un repère fixe (O,i,j,k).
En coordonnées cylindriques, V(r,θ,z) = Vr(r,θ,z) u + Vθ(r,θ,z) v + Vz(r,θ,z) k.

On considère un élément de volume infiniment petit dv autour du point M.

Le flux du vecteur V à travers les faces perpendiculaires à u est
dΦu = Vr(r+dr) [(r+dr)dθdz] - Vr(r) [rdθdz]

Le flux du vecteur V à travers les faces perpendiculaires à v est
dΦv = Vθ (θ+dθ) dr dz - Vθ (θ) dr dz]

Le flux du vecteur V à travers les faces perpendiculaires à k est
dΦk = Vz(z+dz) r dr dθ - Vz(z) r dr dθ

D’où le flux total dΦ de V à travers l’élément de volume dv = r dr dθ dz
dΦ= dΦu+ dΦv+ dΦz

On obtient ainsi la divergence d'un champ de vecteurs exprimés en coordonnées cylindriques

5) Divergence d'un champ de vecteurs, en coordonnées sphériques

Soit un vecteur V(r,θ,φ) = MN(r,θ,φ) dont l’origine est située en un point M(r,θ,φ), à l’intérieur d’un repère fixe (O,i,j,k).
En coordonnées sphériques,V(r,θ,φ)=Vr(r,θ,φ) u + Vθ(r,θ,φ) v + Vφ(r,θ,φ) w

On considère un élément de volume infiniment petit dv, autour du point M.

Le flux du vecteur V à travers les faces perpendiculaires à u est
dΦu = Vr(r+dr) (r+dr)² sinθ dθ dφ - Vr(r) r²sinθ dθ dφ

Le flux du vecteur V à travers les faces perpendiculaires à v est
dΦv = Vθ (θ+dθ) sin(θ+dθ) r dr dφ - Vθ(θ) sinθ r dr dφ, d’où

Le flux du vecteur V à travers les faces perpendiculaires à w est
dΦw = Vφ (φ+dφ) r dr dθ - Vφ (φ) r dr dθ d’où

D’où le flux total dΦ de V à travers l’élément de volume dv = r² sinθ dr dθ dφ
dΦ= dΦu+ dΦv+ dΦw

On obtient ainsi la divergence d'un champ de vecteurs exprimés en coordonnées sphériques

6) Exemples

• Exemple 1 : Particules en mouvement

1) Vérifier la formule d'Ostrogradsky dans le cas de particules se déplaçant le long de l’axe des x avec une vitesse a =(x,0,0) augmentant de façon linéaire en fonction de l’abscisse de ces particules.

2) Vérifier la formule d'Ostrogradsky avec a =(x²,0,0).

Réponse
1) On applique la formule d'Ostrogradsky à un volume V=x.L.H quelconque.

2)

• Exemple 2 : Théorème de Gauss

Le mathématicien, physicien et astronome allemand Gauss (1777-1855) a montré que le flux du champ électrique E à travers une surface S qui délimite un volume V contenant une charge totale Q est égal à Q/ε0

Calculer le champ électrique E et la divergence de ce champ créés en tout point M de l'espace par une sphère de rayon R chargée avec une densité volumique de charge égale à ρ.

Réponse
Le champ électrique créé par une sphère chargée présente une symétrie sphérique. En coordonnées sphériques E =Er(r) u L'application du théorème de Gauss donne :