Source : ct|01.06.13

< Mathématiques et physique

Gradient d'un champ scalaire

"Les équations qui contiennent des différentielles soit ordinaires, soit partielles, expriment, comme on sait, des relations entre les variables qui entrent dans ces équations, et les dérivées qui représentent les rapports des accroissements infiniments petits qu'elles prennent lorsqu'on les fait varier conformément à la dépendance mutuelle que la nature de la question qu'on se propose de résoudre établit entre elles."
André-Marie Ampère (1175-1836) - Considérations générales sur les intégrales des équations aux dérivées partielles (1814)

Le dictionnaire définit le gradient comme « le taux de variation d’un élément météorologique en fonction de la distance ». En mathématiques et en physique, on parle de gradient d'un champ (ou potentiel) scalaire. Quelle est la définition précise de cette notion et à quoi correspond- elle exactement ?…

Le dictionnaire définit le gradient comme « le taux de variation d’un élément météorologique en fonction de la distance ». En mathématiques et en physique, on parle de gradient d'un champ (ou potentiel) scalaire. Quelle est la définition précise de cette notion et à quoi correspond- elle exactement ?…

1) Définition

Soit un champ scalaire U(x,y,z)
On appelle gradient de U le vecteur

que l’on note également

avec i =(1,0,0), j=(0,1,0), k=(0,0,1), et l’opérateur nabla égal à

2) Interprétation

Pour illustrer ce que représente concrètement, en un point M(x,y,z), le vecteur V(x,y,z)=grad U(x,y,z) d’un champ scalaire U(x,y,z), on examine le cas simple d’un champ scalaire U(x) à une dimension ou U(x,y) à deux dimensions.

• Avec une dimension, le vecteur V=grad U(x) d’un champ scalaire U(x) en un point M(x) définit la pente (tangente) de ce champ U(x) en ce point.

dU/dx est la dérivée de la fonction U(x) au point M(x) et représente la pente de la tangente à la courbe U(x) en ce point. Elle représente la variation infinitésimale de cette fonction par rapport à un déplacement infinitésimal en ce point.

• Avec deux dimensions, les composantes du vecteur V=grad U(x,y) d’un champ scalaire U(x,y) en un point M(x,y) représentent les variation infinitésimales de ce champ dans les directions x et y par rapport à un déplacement infinitésimal dans ces directions. Le vecteur V=grad U(x,y) définit la pente (direction de la plus forte variation) de ce champ U(x,y) en ce point.

Généralisation

De façon plus générale, on considère un chemin infiniment petit dr = dx i + dy j +dz k dans un espace (0,x,y,z) doté d’un champ scalaire U(x,y,z). La circulation du vecteur V=grad U le long de ce chemin est égale à

De ce fait la circulation du vecteur gradient de U entre deux points A et B d’un chemin quelconque (AB) est égale à

La circulation entre deux points, du gradient d’un champ (ou potentiel) scalaire, est égale à la différence entre les valeurs de ce champ (différence de potentiel) entre ces deux points.

Exemple

Vérifier la formule

dans le cas particulier U(x,y)=x.y

Réponse
dU = U(x+dx,y+dy)-U(x,y)= (x+dx)(y+dy)-xy = xdy + ydx + dxdy avec xdy + ydx + dxdy qui est égal à xdy + ydx car, dx et dy étant infiniment petits, dxdy est négligeable devant xdy et ydx.

Gradient en coordonnées cylindriques

Soient, en coordonnées cylindriques, un champ scalaire U(r,θ,z) et un vecteur E = grad U.
E = Er u + Eθ v + Ez k
dr = dr u + rdθ v + dz k

dU = grad U. dr = Er.dr + Eθ.rdθ + Ez.dz
d’où

Gradient en coordonnées sphériques

Soient, en coordonnées sphériques, un champ scalaire U(r,θ,φ) et un vecteur E = grad U.
E = Er u + Eθ v + Eφ w
dr = dr u + rdθ v + rsindφ w

dU = grad U.dr = Er.dr + Eθ.rdθ + Eφ.rsinθdφ
d’où