Source : ct|01.06.13

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Laplacien d'un champ scalaire

Le mot Laplacien n’apparaît pas dans les mots d’usage courant du dictionnaire. En mathématiques et en physique, il représente un opérateur différentiel utilisé en analyse vectorielle. Son nom rend hommage aux travaux correspondants effectués par le mathématicien, astronome et physicien français Pierre-Simon Laplace (1749-1827).
Quelle est la définition précise de cet opérateur et à quoi correspond-il exactement ?…

1) Définition

Soit un champ (ou potentiel) scalaire U(x,y,z). On appelle Laplacien de ce champ U(x,y,z) la divergence du gradient de U(x,y,z)

On note le laplacien d’un champ scalaire U sous la forme

avec l’opérateur laplacien égal à

et i =(1,0,0), j=(0,1,0), k=(0,0,1)

2) Interprétation

Pour illustrer ce que représente concrètement le laplacien d’un champ scalaire U(x,y,z) en un point M(x,y,z), on utilise le cas simple d’un champ scalaire à une dimension U(x) en un point M(x) et à deux dimensions U(x,y) en un point M(x,y).

• Avec une dimension, le laplacien d’un champ scalaire U(x) en un point M(x) est égale à la dérivée seconde du champ scalaire U(x) par rapport à la variable x.

dU/dx, dérivée de la fonction U(x) au point M(x), représente la pente de la tangente à la courbe U(x) en ce point. Elle représente la variation infinitésimale de U(x), par rapport à une variation infinitésimale de x, en ce point.
d²U/dx², dérivée seconde de la fonction U(x) au point M(x), représente la pente de la dérivée U'(x)=dU/dx en ce point. Elle représente la variation infinitésimale de U'(x), par rapport à une variation infinitésimale de x, en ce point.

Si on s’intéresse à la forme locale de la fonction y=U(x) sur un intervalle de largeur d on distingue les trois cas suivants :

• Fonction localement concave
  Dans ce cas, la dérivée dU/dx de la fonction U(x) est décroissante sur [x-d, x+d] et le laplacien de U (dérivée seconde de U) est négatif


• Fonction localement convexe
  Dans ce cas, la dérivée dU/dx de la fonction U(x) est croissante sur [x-d, x+d] et le laplacien de U (dérivée seconde de U) est positif


• Fonction localement « plate »
  Dans ce cas, la dérivée dU/dx de la fonction U(x) est constante sur [x-d, x+d] et le laplacien de U (dérivée seconde de U) est égal à 0.

Le laplacien d'un champ scalaire U(x) en un point M(x) indique la concavité de ce champ en ce point

On peut étendre ce raisonnement à un champ scalaire U(x,y) à deux dimensions.

• Si ΔU < 0 au point M(x,y)
  Cela signifie que (globalement, par rapport à x et y) la fonction U(x,y) est concave en ce point. Dans ce cas, la valeur prise par U(x,y) au point M(x,y) est supérieure à la moyenne des valeurs prises par un ensemble de points voisins situés à une distance d du point M.
• Si ΔU = 0 au point M(x,y)
  Cela signifie que (globalement, par rapport à x et y) la fonction U(x,y) est plate en ce point. Dans ce cas, la valeur prise par U(x,y) au point M(x,y) est égale à la moyenne des valeurs prises par un ensemble de points voisins situés à une distance d du point M.
• Si ΔU > 0 au point M(x,y)
  Cela signifie que (globalement, par rapport à x et y) la fonction U(x,y) est convexe en ce point. Dans ce cas, la valeur prise par U(x,y) au point M(x,y) est inférieure à la moyenne des valeurs prises par un ensemble de points voisins situés à une distance d du point M.

En conclusion
Le laplacien d'un champ scalaire U(x,y,z) en un point M(x,y,z) indique la concavité de ce champ en ce point

Généralisation

Soit un champ de vecteurs V(x,y,z) = Vx(x,y,z) i + Vy(x,y,z) j + Vz(x,y,z) k

Le laplacien ΔV(x,y,z) de ce champ de vecteur est un vecteur dont les composantes sont égales aux laplaciens des composantes du vecteur V(x,y,z).

Exemple

Soit le champ scalaire U(x,y) = x³ défini sur RxR
Calculer le laplacien de ce champ. En déduire la concavité du champ sur RxR

Réponse

On a
ΔU ‹ 0 pour x є [-∞,0[ x [-∞,+∞]
ΔU=0 pour x = (0,0)
ΔU › 0 pour x є ]0,+ ∞] x [-∞,+∞]

Laplacien en coordonnées cylindriques

Soient, en coordonnées cylindriques, un champ scalaire U(r,θ,z) et un vecteur
E (r,θ,z) = Er (r,θ,z) u + Eθ(r,θ,z) v + Ez(r,θ,z) k = grad U
ΔU = div (grad U) = div E

d'où

Le laplacien de U est égale à la divergence de E, d'où

Laplacien en coordonnées sphériques

Soient, en coordonnées sphériques, un champ scalaire U(r,θ,φ) et un vecteur
E (r,θ,φ) = Er (r,θ,φ) u + Eθ(r,θ,φ) v + Eφ(r,θ,φ) w = grad U
ΔU = div (grad U) = div E

d'où

Le laplacien de U est égale à la divergence de E, d'où