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Source : ct|01.06.13
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| George G. Stokes (1857) - Source Commons wikimedia : image public domain |
Le dictionnaire définit la rotation comme « le mouvement d’un corps autour d’un point ou d’un axe" et l’adjectif rotatoire comme « relatif à une rotation » mais le mot rotationnel n’apparaît pas dans les mots d’usage courant.
En mathématiques et en physique, on parle de rotationnel d'un champ de vecteurs. Les anglais utilisent le terme "curl" qui signifie boucler, tourbillonner. Quelle est la définition précise du rotationnel et à quoi correspond exactement cette notion ?…
Soit un champ de vecteurs
a (x,y,z) = ax(x,y,z) i + ay(x,y,z) j + az(x,y,z) k
On appelle rotationnel de a le vecteur
que l’on note parfois, sous la forme
avec i =(1,0,0), j=(0,1,0), k=(0,0,1), et l’opérateur nabla égal à
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| Rotationnel d'un vecteur et opérateur nabla |
Pour illustrer ce que représente concrètement, en un point M(x,y,z), le vecteur rotationnel rot V d’un champ de vecteurs V(x,y,z), on associe à ce point M un élément de surface infiniment petit dS présentant un contour dL.
Pour simplifier les calculs, on suppose que cette surface dS est composée des trois éléments de surfaces suivants :
La circulation dC du vecteur V le long du chemin dL qui entoure la surface dS est égale à la somme des circulations de ce vecteur le long des contours dLi, dLj et dLk car les circulations du vecteur V sur les chemins MM3, MM5 et MM1 s’annulent entre elles. Donc dS = dSi + dSj + dSk et dC = dCi + dCj + dCk.
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| circulation d'un vecteur le long du contour entourant un élément de surface |
La circulation dCi du vecteur V sur le contour dLi = MM5M4M3, dans le plan (0,y,z) perpendiculaire à i, est égale à
dCi = -Vz(x,y,z)dz + Vz(x,y+dy,z)dz - Vy(x,y,z+dz)dy + Vy(x,y,z)dy
La circulation dCj du vecteur V sur le contour dLj = (MM3M2M1) dans le plan (0,x,z) perpendiculaire à j est égale à
dCj = -Vx(x,y,z)dx + Vx(x,y,z+dz)dx - Vz(x+dx,y,z)dz + Vz(x,y,z)dz
La circulation dCk du vecteur V sur le contour dLk = (MM1M6M5) dans le plan (0,x,y) perpendiculaire à k est égale à
dCk = -Vx(x,y+dy,z)dx + Vx(x,y,z)dx - Vy(x,y,z)dy + Vy(x+dx,y,z)dy
Circulation sur les contours entourant les éléments surface dydz, dxdz et dxdy
On constate ainsi que,
dC = dCi+ dCj+dCk = rot V.dS
avec
Le vecteur rotationnel, en un point M, d’un champ de vecteurs V, est différent de 0 si la circulation du champ de vecteurs V autour de ce point M est différente de 0. Pour que cette circulation soit différente de 0, il faut donc que le champ de vecteur tourne (tourbillonne) plus ou moins autour de ce point.
A l’inverse, si le vecteur rotationnel d’un champ de vecteurs est nul en un point M, cela signifie que ce champ de vecteurs ne tourne pas autour de ce point M.
Donc
Le vecteur rotationnel, en un point M, d’un champ de vecteurs V indique la façon dont ce champ de vecteurs tourne (plus ou moins) autour de ce point.
Rotationnel (tourbillonnement) d'un champ de vecteur
De façon plus générale, on considère une surface orientée quelconque S composée d’une infinité de surfaces élémentaires orientées infiniment petites dS. La circulation du vecteur V le long du chemin C qui entoure la surface S est égale à la somme des circulations de ce vecteur le long de l'ensemble des contours élémentaires car les circulations du vecteur V sur les chemins internes s’annulent entre elles (sur chacun des segments de droite internes les circulations s'effectuent dans les deux sens opposés et de ce fait s'annulent deux à deux).
Circulation sur le contour d'une surface
C’est pourquoi de dC = rot V.dS on déduit naturellement
(Formule de Stokes)
La circulation d’un champ de vecteur V, le long du chemin qui entoure une surface fermée orientée S est égal à l’intégrale du rotationnel de ce champ de vecteur sur cette surface.
(On prend C et S dans le sens du triède direct)
sens du triède direct
Le calcul en coordonnées cylindriques, du rotationnel d’un vecteur A en un point M, s’effectue de la même façon qu’en coordonnées cartésiennes mais en considérant l’élément de surface dS = rdθdz u + drdz v + rdrdθ k autour du point M(r,θ,z).
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| Système de coordonnées cylindriques |
• Circulation dCr de A sur la surface élémentaire orientée dSr perpendiculaire à u :
Aθ(r,θ,z) rdθ - Aθ(r,θ,z+dz) rdθ
Az(r,θ+dθ,z)dz - Az(r,θ,z) dz
• Circulation dCθ de A sur la surface élémentaire orientée dSθ perpendiculaire à v :
Az(r,θ,z) dz - Az(r+dr,θ,z) dz
Ar(r,θ,z+dz) dr - Ar(r,θ,z) dr
• Circulation dCz de A sur la surface élémentaire orientée dSz perpendiculaire à k :
Ar(r,θ,z) dr -Ar(r,θ+dθ,z) dr
Aθ(r+dr,θ,z) (r+dr)dθ - Aθ (r,θ,z) rdθ
On trouve ainsi
dC = dCr+ dCθ+dCz égal à
Sachant que dC = dCr+ dCθ+dCz = rot A.dS, et que
dS=rdθdz u + drdz v + rdrdθ k, on obtient
Le calcul en coordonnées sphériques, du rotationnel d’un vecteur A en un point M, s’effectue de la même façon qu’en coordonnées cartésiennes ou cylindriques mais en considérant l’élément de surface dS égal à r²sinθdθdφ u + rsinθdrdφ v + rdrdθ w autour du point M.
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| Système de coordonnées sphériques |
• Circulation dCr de A sur la surface élémentaire orientée dSr perpendiculaire à u :
Aθ(r,θ,φ) rdθ - Aθ(r,θ,φ+dφ) rdθ
Aφ(r,θ+dθ,φ) rsin(θ+dθ)dφ - Aφ(r,θ,φ) rsinθdφ
= sin(θ+dθ) Aφ(r,θ+dθ,φ) rdφ - sinθ Aφ(r,θ,φ) rdφ
• Circulation dCθ de A sur la surface élémentaire orientée dSθ perpendiculaire à v :
Ar(r,θ,φ+dφ) dr -Ar(r,θ,φ) dr
Aφ(r,θ,φ) rsinθdφ - Aφ(r+dr,θ,φ) (r+dr)sinθdφ
= rAφ(r,θ,φ)sinθdφ - (r+dr)Aφ(r+dr,θ,φ) sinθdφ
• Circulation dCφ de A sur la surface élémentaire orientée dSφ perpendiculaire à w :
Ar(r,θ,φ) dr - Ar(r,θ+dθ,φ) dr
Aθ(r+dr,θ,φ) (r+dr)dθ - Aθ(r,θ,φ) rdθ
On trouve ainsi,
dC = dCr+ dCθ+dCφ = rot A.dS égal à
avec dS=r²sinθdθdφ u + rsinθdrdφ v + rdrdθ w
d'où
• Exemple 1 : Particules en mouvement
Vérifier la formule de Stokes dans le cas de particules se déplaçant le long de l’axe des x avec une vitesse V =(xz,0,0) qui augmente de façon linéaire en fonction de l’abscisse x et de la hauteur z des particules
Réponse
En utilisant le système de coordonnées cartésiennes, on applique la formule de Stokes à une surface S=x.z quelconque dans le plan y=0.
V = xz i + 0 j + 0 k
La circulation C de V le long du contour de S (dans le sens du triède direct) se réduit à la circulation de xz i sur AB car les circulations sur BC, C0 et 0A sont égales à 0.
• Exemple 2 : Cylindre en rotation autour de son axe
Calculer le rotationnel du vecteur vitesse a d'un point M situé sur un cylindre qui tourne autour de son axe avec une vitesse de rotation angulaire ω (rad/s)
Réponse
En utilisant le système de coordonnées cylindriques, on a :
Le rotationnel du vecteur vitesse S, en un point M situé sur le cylindre, est égal à 2 fois le vecteur vitesse de rotation angulaire ω du cylindre. Cet exemple permet de visualiser la notion de rotationnel d'un champ de vecteurs et ainsi de bien comprendre ce qu'elle représente concrètement.
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