turrier.fr

Source : ct|01.06.13

< Mathématiques et physique

Vecteurs et champs vectoriels

collision de trois nainesblanches
Champ de gravitation - Collision de naines blanches
  Source Commons Wikimedia - Image Public domain

Un scalaire x est un nombre réel. Par exemple, 7, 2/3 ou racine de 2 sont des scalaires. Un champ scalaire est l’ensemble des valeurs , que prend un scalaire x en différents points d’un espace.

Un vecteur est un nombre réel qui est complété d'une origine, d'une direction et d'un sens (positif ou négatif) par rapport à cette direction. Pour dessiner un vecteur, on lui attribue une longueur proportionnelle à la valeur du nombre réel associé. Un champ vectoriel est l’ensemble des valeurs , des directions et des sens que prend un vecteur V en différents points d'un espace.

scalaire, champ scalaire, vecteur et champ vectoriel

En mathématiques, les scalaires et les vecteurs sont exprimés sans unité (ce sont des éléments abstraits). À l'inverse, en physique, les scalaires et les vecteurs sont dotés d'une unité (celle de l'élément concret qu'ils représentent). Par exemple en physique, une longueur de 3m, une masse de 5kg ou un temps de 20s sont des scalaires, la vitesse, à un instant t, exprimée en m/s, d’un objet se trouvant en un point x,y,z de l’espace, est un vecteur.

Composantes d'un vecteur

Un vecteur V(x,y,z) placé dans un repère fixe (0, i, j, k) et ayant pour composantes Vx(x,y,z), Vy(x,y,z) et Vz(x,y,z) dans ce repère est noté

notation d'un vecteur

Addition de deux vecteurs

L'addition de deux vecteurs U(x,y,z) et V(x,y,z) placés dans un repère fixe (0,i,j,k) et ayant respectivement pour composantes Ux(x,y,z), Uy(x,y,z) Uz(x,y,z) et Vx(x,y,z), Vy(x,y,z), Vz(x,y,z) dans ce repère donne un vecteur W=U+V ayant pour composantes Wx(x,y,z)=Ux(x,y,z)+Vx(x,y,z), Wy(x,y,z)=Uy(x,y,z)+Vy(x,y,z) et Wz(x,y,z)=Uz(x,y,z)+Vz(x,y,z).

L'addition de deux vecteurs correspond à la notion de vecteur résultant. Par exemple, en physique, une force est représentée par un vecteur F. L'addition de deux forces F1 et F2 possédant des directions et des intensités quelconques donne la force résultante F=F1+F2

addition de deux vecteurs
Addition de deux vecteurs

Produit scalaire de vecteurs

Soient deux vecteurs U et V. Le produit scalaire U.V de ces deux vecteurs est le scalaire égal au produit des longueurs des deux vecteurs par le cosinus de l'angle qu'ils forment entre eux.
U.V = U.V cosθ

Le produit scalaire est égal au produit de la longueur du premier vecteur par la longueur de la projection du second vecteur sur le premier.

Le produit scalaire correspond à la notion de déplacement d'un vecteur sur un segment orienté. Par exemple, en physique, le travail W (J) d'une force est égal au produit scalaire du vecteur force F (N) par la distance orientée d (m) sur laquelle cette force se déplace.
W = F.d = F.d cosθ

Avec U(x, y, z)= Ux i +Uy j + Uz k et V(x, y, z)= Vx i+ Vy j + Vz k on a U.V= (Ux i+ Uy j + Uz k).(Vx i + Vy j + Vz k), on a :
U.V= (UxVx i.i + UxVy i.j+ UxVz i.k) + (UyVx j.i + UyVy j.j+ UyVz j.k) + (UzVx k.i + UzVy k.j+ UzVz k.k)
avec i.i=j.j=k.k=1 et i.j=j.k=i.k=j.i=k.i=k.j=0 car cos 0=1 et cos π/2=0

d'où U.V = UxVx+ UxVy+ UxVz

produit scalaire de deux vecteurs
Produit scalaire de deux vecteurs

Produit vectoriel de vecteurs

Soient deux vecteurs U et V. Le produit vectoriel UΛV de ces deux vecteurs est le vecteur W dont :

Le produit vectoriel de deux vecteurs correspond à la notion de multiplication de la valeur du premier vecteur par la valeur du second vecteur projeté sur un axe perpendicalaire au premier vecteur.
Le schéma suivant illustre géométriquement cette correspondance (en longueur le produit vectoriel correspond à la surface du parallélogramme sous-tendu par les vecteurs U et V).

05

Avec U(x, y, z)= Ux i +Uy j + Uz k et V(x, y, z)= Vx i+ Vy j + Vz k on a UΛV= (Ux i+ Uy j + Uz k) Λ (Vx i + Vy j + Vz k), on a :
UΛV= (UxVx iΛi + UxVy iΛj+ UxVz iΛk) + (UyVx jΛi+ UyVy jΛj+ UyVz jΛk) + (UzVx kΛi+ UzVy kΛj+ UzVz kΛk)
avec iΛi=jΛj =kΛk= 0, iΛj=k, jΛk=i, kΛi=j, et jΛi=-k, kΛj=-i, iΛk=-j car sin 0=0 et sin π/2=1

d'où
UΛV= (UyVz-UzVy) i + (UzVx-UxVz) j + (UxVy-UyVx) k

produit vectoriel de deux vecteurs
Produit vectoriel de deux vecteurs

Pour retrouver les composantes d'un produit vectoriel, on peut l'écrire sous forme d'un déterminant

produit vectoriel de deux vecteurs sous forme d'un déterminant
Valid XHTML 1.0 Transitional

© http://turrier.fr (2007)